Анна Кошкина родилась в Калининграде. Обучаться музыке начала с шести лет, в восьмилетнем возрасте дебютировала с оркестром «Гнесинские виртуозы» под управлением Михаила Хохлова в Малом зале Московской консерватории.

В 2017 году окончила Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс Бориса Андрианова), затем продолжила обучение в Берлинском университете искусств (класс профессора Данжуло Ишизаки).

Участвовала в мастер-классах Давида Герингаса, Ивана Монигетти, Наталии Шаховской, Джованни Соллимы, Йенса Петера Майнца, Трольса Сване, Стефана Попова, Леонида Горохова, Александра Рудина, Владимира Тонхи, Александра Чаушяна, Клаудио Бохоркеса, Мартти Роуси, Гавриила Липкинда и других знаменитых виолончелистов и педагогов.

Лауреат всероссийских и международных конкурсов, в числе которых Young Virtuosos в Болгарии (2017), Riga Classiс Strings в Латвии (2018), Classical Strings Vienna в Австрии (2019).

Принимала участие в фестивалях «Москва встречает друзей» фонда Владимира Спивакова, VIVARTE и VIVACELLO Бориса Андрианова, «Музыкальная экспедиция», «Виртуозы гитары», виолончельном фестивале в Клайпеде, «Возвращение» на о. Хийумаа (Эстония), имени Пабло Казальса в Праде (Франция).

Выступала в ансамбле с Юлианом Рахлиным, Вильде Франг, Шмуэлем Ашкенази, Барнабашем Келеменом, Кларой Юми Кан, Алиной Погосткиной, Борисом Андриановым, Пабло Гарибаем, Артёмом Дервоедом, Яманду Костой и другими известными музыкантами.